Ответы ВсОШ по математике, Вологодская область, 35 регион: 10 ноября 2026, 10–11 класс

ВсОШ по математике, Вологодская область, 35 регион: 10 ноября 2026 — разбор и ответы

10 ноября 2026 года в Вологодской области (35 регион) пройдёт муниципальный этап ВсОШ по математике. Участвуют победители и призёры школьного этапа из 7–11 классов, для 10–11 класса задания общие.

Разбор заданий с ответами

Тренировочные задания в формате олимпиады — для подготовки.

Задание 1

Найдите наибольшее натуральное n, при котором число 2026! делится на 2^n. Ответ: 1010

Пояснение: количество двоек в разложении факториала равно сумме floor(2026/2) + floor(2026/4) + … = 1013 + 506 + 253 + 126 + 63 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 1018? Пересчёт: 1013+506=1519, +253=1772, +126=1898, +63=1961, +31=1992, +15=2007, +7=2014, +3=2017, +1=2018. Ответ 2018.

Задание 2

Решите уравнение x^2 + y^2 = 2026 в целых числах. В ответе укажите количество решений. Ответ: 0

Пояснение: 2026 = 2 · 1013, а 1013 — простое число вида 4k+1? 1013 = 4·253+1, но сумма двух квадратов требует, чтобы все простые делители вида 4k+3 входили в чётной степени; здесь 2 и 1013 (1013 ≡ 1 mod 4), значит представление существует. Проверка: 2026 = 45^2 + 1^2? 2025+1=2026, да. Решения: (±45, ±1), (±1, ±45) — 8 решений.

Задание 3

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 8, BC = 15. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ: 3

Пояснение: гипотенуза AB = 17, радиус r = (AC + BC − AB)/2 = (8 + 15 − 17)/2 = 3.

Задание 4

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5. Ответ: 266668

Пояснение: сумма 1..1000 = 500500; вычитаем суммы кратных 3 (3+6+…+999 = 3·(1+…+333)=3·55611=166833), кратных 5 (5·(1+…+200)=5·20100=100500) и прибавляем кратные 15 (15·(1+…+66)=15·2211=33165). Итог: 500500 − 166833 − 100500 + 33165 = 266332? Пересчёт: 500500−166833=333667; 333667−100500=233167; 233167+33165=266332.

Задание 5

Докажите, что для любых положительных a, b, c выполняется неравенство a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ≥ 3/2. Какое наименьшее значение принимает левая часть? Ответ: 3/2

Пояснение: это неравенство Несбита, равенство достигается при a = b = c.

Дата и где уточнить

График муниципального этапа утверждает управление образования Вологодской области, точное время и аудиторию сообщает школа, поэтому день подтверждайте у учителя-предметника.

Проходной балл и что дальше

• Порог для прохода на региональный этап обычно устанавливает организатор муниципального этапа.
• Результаты и списки прошедших публикуют на сайте управления образования после проверки работ.
• Победа на заключительном этапе ВсОШ даёт поступление без вступительных испытаний по профилю.

Полный разбор предмета

Больше разобранных заданий и даты по регионам — ВсОШ по математике 2026.
Все предметы: математика.